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反证法的理论依据是逆否命题吗?

房元霞等 文卫星数学生态课堂 2022-07-17
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1 反证法的理论依据是逆否命题吗?

 

     “反证法”与“逆否命题”是数学家族中的一对好兄弟,但最近两人为了一个问题,引起了争端。究竟是什么回事呢?

原来,“逆否命题”发现“反证法”往往利用自己来证明一些结论,所以认为反证法的实质就是证明一个命题的逆否命题。而“反证法”并不认帐。两人找来“逻辑”与“推理”两位法官主持公道。

“逆否命题”说:“反证法是间接证法中的一种,从命题的角度来看,由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,所以反证法的证明思路是证明原命题的逆否命题成立。”

还没等“反证法”说完,“逆否命题”就打断了他的话:“两位法官听听,“反证法”现在已经承认了。”

“反证法”笑着说:“别急,我还没说完呢。我的理论基础是互为命题的等价性,但是我们证明的思路并不完全是证明一个命题的逆否命题。”

法官“逻辑”说:你说来听听。

“反证法”说:“从逻辑形式上来说,反证法的理论依据在于矛盾律和排中律(矛盾律:对于同一事物的两个矛盾的判断不能同时为真,其中至少有一个是假的;排中律:对于同一事物的肯定判断与否定判断不能同时进行);其矛盾的种类可以有:与题设矛盾,与假设矛盾,与定义、定理、公理、公式矛盾或自相矛盾等等。由此可知,反证法证明的思路是只要找到矛盾即可,不一定是与题设矛盾。这说明,反证法与证明逆否命题是不一样的。”

“逻辑”与“推理”两位听完之后,点了点头,赞许地说:“你说的非常正确,还有其他理由吗?”

在事实面前,“逆否命题”也不得不认真反思自己的想法,思考了一会,说:“我只是看到了反证法的外在形式,而没有深入思考他的逻辑基础。我错了。”

两位法官听完后,真诚地对“逆否命题”说:“是的,我们不应该只看事物的外在形式,更要深入研究它的实质。反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.”

“推理”说:“反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中以常用到,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要,反证法是一种逆向思维的一种推理方式,它常可将肯定正面转化为否定反面,由反面的否定得出正面的肯定,从而避开直接肯定正面的障碍,正因为如此,反证法往往可以完成直接证明难以完成的工作。从2009年的高考开始已经把反证法纳入高考的范畴,所以我们一定要认真学习。”

https://wenku.baidu.com/browse/downloadrec?doc_id=9a737cc684868762caaed55c&wp=1



                         2 解读反证法的逻辑基础



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